Maths forever
Pour les amoureux des mathématiques, les âmes scientifiques, les artistes qui ont le compas dans l'oeil, les fins stratèges, les joueurs et calculateurs de probabilités, et puis tous les autres aussi : Frère Jean a fait don d'une collection très intéressante ! À découvrir au CDI.
Toute la sélection :
Les algorithmes : Au coeur du raisonnement
POLE, 2009 (Bibliothèque Tangente ; 37)
En Grèce à l'époque d'Euclide, en Chine il y a 2000 ans ou aujourd'hui à l'ère de l'informatique, les algorithmes ont vocation à expliquer, étape par étape, comment fonctionne un raisonnement. Certaines caractéristiques émergent naturellement : boucles, conditions d'arrêt, itérations, convergence, récursivité...
Les algorithmes font officiellement leur entrée dans les programmes scolaires de 2009. Le présent ouvrage couvre leurs aspects historiques, techniques et mathématiques, mais également les besoins spécifiques des enseignants (et de leurs élèves).
Pour autant, le grand public n'est pas oublié : de nombreuses questions fascinantes, en arithmétique par exemple, sont issues d'algorithmes très simples.
Les ambassadeurs francophones des mathématiques : de Descartes à Villani.
POLE, 2013 (Bibliothèque Tangente ; 48)
Ils ont fait connaître et aimer les mathématiques, ils ont donné envie d'en savoir plus, ils ont suscité des vocations, ils ont porté haut les couleurs de la France. Scientifiques, philosophes, chercheurs, ils ont inventé des concepts tellement puissants que leurs noms sont connus et admirés dans le monde entier. Animateurs, magiciens, créateurs de jeux, ils ont su soulever les foules autour des événements qu'ils ont créés, de l'intérêt ou l'étonnement qu'ils ont suscité.
Enseignants, ils ont présenté les mathématiques autrement, mis en avant leur composante culturelle. Ecrivains, chroniqueurs, journalistes, ils ont eu le talent d'intéresser un vaste public en diffusant, vulgarisant, popularisant la culture mathématique. C'est à ces ambassadeurs des mathématiques, célèbres et anonymes, qui ont consacré leur énergie à promouvoir une autre image des mathématiques, que cet ouvrage est consacré.
Les angles sous tous les angles : Deux mille ans de géométrie
POLE, 2015 (Bibliothèque Tangente ; 53)
L'angle est une des premières notions de géométrie que l'on rencontre. Pourtant, tout au long de la scolarité, on ne le définit jamais vraiment. On se contente le plus souvent de montrer le secteur formé par deux droites.
Si cet objet géométrique très intuitif se laisse apparemment appréhender au premier coup d'oeil, il n'est pas simple de répondre aux questions : "Qui est-il, à quoi sert-il ?"
Ce n'est pas un hasard s'il a fallu des siècles pour montrer que la trisection de l'angle n'est pas réalisable à la règle et au compas, ou pour maîtriser la perspective. Quant à la définition donnée par les "maths modernes" dans les années 1970, elle a laissé pantois plus d'un élève (et d'un enseignant).
Alors pour répondre enfin à ces questions profondes, Tangente a mobilisé sa rédaction : vulgarisateurs, enseignants, chercheurs, géomètres, historiens vont éclairer le lecteur sur ce concept qui semble aller de soi.
Pour la première fois dans l'histoire du livre, une équipe d'auteurs propose d'examiner la notion d'angle... sous tous les angles !
Le calcul intégral : Des nombres, en somme...
POLE, 2014 (Bibliothèque Tangente ; 50)
Sous le nom d'intégrale se cache une idée simple, belle et puissante, qui a mis plusieurs siècles pour arriver à maturité. Comment calculer l'aire d'une zone délimitée par une courbe ? Le génial Archimède découpe la surface à mesurer en objets géométriques élémentaires, puis il procède par encadrements successifs. C'est le point de départ d'une théorie qui se précisera au fil des siècles. Newton et Leibniz s'emparent de la question, se mènent une guerre sans merci qui débouchera sur la fondation du calcul intégral.
Grâce à eux, l'analyse se met au service de la géométrie. La machine est lancée, et ne s'arrêtera plus. Le XIXe siècle sera celui de l'utilisation du calcul intégral dans toutes les branches de la physique. La théorie progressera, notamment avec Riemann. Elle débouche aujourd'hui sur des extensions permanentes. C'est cette histoire, accompagnée d'explications théoriques détaillées, que raconte cet ouvrage.
Le cercle : La perfection faite courbe
POLE, 2009 (Bibliothèque Tangente ; 36)
Depuis Ératosthène, Ptolémée, Apollonius ou Archimède, le cercle est, sans aucun doute, l'un des objets géométriques les plus familiers. Compagnon discret de notre quotidien, il est à la fois porteur de remarquables propriétés mathématiques et d'une puissance esthétique sans égale. Mais que sait-on réellement du cercle ? Que cache-t-il derrière cette apparente simplicité ? Le connaît-on aussi bien qu'on pourrait le croire ? Pas si sûr...
Faisceaux, puissance d'un point, symétrie, grands théorèmes de la géométrie, Poincaré, Euler... il n'est pas un thème dont le cercle soit absent. Et cet inlassable objet d'étude fait toujours l'objet de travaux, qu'ils soient ludiques ou académiques. Des cercles, on en découvre tous les jours !
Courbes et trajectoires : Entre algèbre et géométrie
POLE, 2021 (Bibliothèque Tangente ; 74)
Entre algèbre et géométrie Depuis leur histoire ancienne, les courbes ont fait l'objet de recherches permanentes, entre algèbre et géométrie. Leurs modes de construction ont passionné de nombreux mathématiciens. D'abord planes, elles ont vite rejoint la dimension 3, mise en évidence par la physique et l'astronomie. Car une courbe, c'est aussi la trajectoire d'un point, dans le plan comme dans l'espace.
Aujourd'hui, elles sont omniprésentes : dans les statistiques, les circuits routiers, l'architecture, l'art ... Grâce à l'informatique, une nouvelle branche est née, la CAO (conception assistée par ordinateur).
Cryptographie & codes secrets : L'art de cacher
POLE, 2006 (Bibliothèque Tangente ; 26)
L'histoire de la cryptographie est celle d'un combat sans merci entre ceux qui ont quelque chose à cacher et ceux qui aimeraient bien découvrir ce qu'on leur cache. Au temps de César, déjà, les généraux permutaient les lettres des messages envoyés à leurs armées. La méthode s'est perfectionnée pour aboutir, sous l'ère industrielle, à des machines à crypter dont la plus célèbre fut Enigma. Outre le domaine militaire, l'usage d'un code comme le Morse a installé l'idée de communiquer à distance.
Aujourd'hui, la cryptographie est omniprésente. Systèmes informatiques, terminaux de cartes bleues, téléphones mobiles sont équipés de protocoles de sécurité que défient les pirates des temps modernes. Sur ce champ de bataille, les armes sont mathématiques et la plus redoutable se nomme factorisation de grands nombres.
Découpages et pavages : Entre art et géométrie
POLE, 2018 (Bibliothèque Tangente ; 64)
Les récréations autour des découpages géométriques se retrouvent dans toutes les civilisations. Les carrés, les rectangles, les polygones et polyminos fournissent une mine inépuisable d'énigmes et de puzzles dont l'élégance réside souvent dans la simplicité. Deux figures de même aire peuvent-elles toujours être obtenues, l'une à partir de l'autre, à l'aide d'une simple paire de ciseaux ? Un théorème fameux répond à la question.
Les pavages réguliers et les frises sont aujourd'hui catalogués de manière rigoureuse. Roger Penrose et Maurits Escher ont été les précurseurs de ces nouvelles mosaïques étonnantes et magnifiques... dont les artistes musulmans avaient déjà entrevu les richesses...
Les démonstrations - L'art de convaincre : Raisonner et prouver
POLE, 2016 (Bibliothèque Tangente ; 55)
La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait la spécificité des mathématiques. L'ouvrage fait le point sur la variété des méthodes utilisées pour démontrer, mais aussi sur la créativité dont il faut faire preuve quand la seule façon de faire consiste à sortir des sentiers battus. Il évoque également les remises en cause nées au vingtième siècle des travaux de Kurt Gödel.
Les distances : un outil pour tout mesurer
POLE, 2023 (Bibliothèque Tangente ; 81)
Mesurer des longueurs est sans doute l'une des plus anciennes activités humaines, tant pour le calcul de limpôt dû pour un terrain que pour la cartographie d'une région, la prise d'une place forte ou l'exploration d'un territoire. Les outils modernes font parfois oublier que ces actions reposent concrètement sur les mathématiques, en particulier sur de nombreux résultats de géométrie. Ces derniers sont si puissants qu'ils ont essaimé dans toutes les sciences : aujourd'hui, on peut tout mesurer... ou presque, et même de plusieurs manières ! La distance géographique peut être euclidienne ou sphérique. L'écart entre deux nombres peut se calculer par leur différence ou leur « distance p-adique ». De la distance linguistique entre les mots aux écarts à la moyenne d'une série statistique, en passant par les différents trajets qui permettent de relier deux villes, de nombreuses unités, parfois étonnantes, représentent des distances : kilomètres avalés, heures passées dans un véhicule, coûts en énergie... Mais la notion formelle de distance, même si elle a mis des siècles à émerger, est aussi un concept intuitif et accessible, conduisant à des énigmes visuelles, présentes dans ce livre.
La droite : A l'origine de la géométrie
POLE, 2017 (Bibliothèque Tangente ; 59)
La droite, objet le plus familier de la géométrie, prend selon les contextes, le nom de ligne, d'axe, d'horizon, de direction, de trait Son importance en géométrie peut se mesurer au nombre extraordinaire de mathématiciens et savants qui ont laissé leur nom à la figure contenant une droite qu'ils ont mise en évidence. Mais la droite n'est pas cantonnée à la géométrie : elle est de manière naturelle associée à la représentation des nombres réels, ce qui ouvre tout un champ d'étude.
Les ensembles : Aux fondements des mathématiques
POLE, 2017 (Bibliothèque Tangente ; 61)
L'économie n'a pas toujours fréquenté les mathématiques, jusqu'à l'arrivée de penseurs qui, au XIXe siècle, y ont fait entrer la rationalité scientifique. L'économie peut dès lors être considérée comme une science. Quel rôle les modèles mathématiques jouent-ils dans son analyse et son développement ? Peuvent-ils contre- balancer les décisions reposant sur une approche dogmatique, et donc influencer le politique ?
Les équations algébriques : Aborder les inconnues
POLE, 2005 (Bibliothèque Tangente ; 22)
A Babylone, en Egypte ou en Grèce, l'homme antique est confronté à des partages de champs ou d'héritages qui le conduisent déjà à résoudre des équations algébriques, parfois sans le savoir. De ces problèmes de la vie quotidienne naîtra l'inconnue. Depuis, les équations se résolvent aussi pour elles-mêmes, sans souci du concret. Afin de percer leur mystère, le mathématicien affûte ses méthodes. Il doit accepter l'insuffisance de la stricte algèbre, ne dédaigner ni les ressources de la géométrie, ni le recours aux approximations. Cette quête le mènera aux confins de l'univers des nombres, dans des mondes peuplés d'irrationnels, de transcendants, d'imaginaires. Elle sera l'origine de révolutions mathématiques, telles que la théorie de Galois.
Les équations de la physique moderne : Relativité générale ; Mécanique quantique
POLE, 2020 (Bibliothèque Tangente ; 71)
Les grandes théories physiques ont été imaginées abstraitement avant d'être (ou non) validées, parfois longtemps après, par des observations. Des scientifiques audacieux ont su adosser, au début du XXe siècle, une partie de la physique à des concepts mathématiques. L'arrivée des théories relativistes imaginées par Albert Einstein a bouleversé notre compréhension de l'univers, détrônant l'approche newtonienne.
Les équations du nouveau modèle réservent leur lot de surprises mathématiques. La gravitation devient une manifestation de la géométrie, les espaces non euclidiens s'imposent, les tenseurs ouvrent de nouveaux formalismes, les distributions permettent de généraliser le concept de fonction. Les physiciens disposaient ainsi d'une grande théorie universelle qui allait leur permettre d'explorer méthodiquement l'univers.
L'infiniment grand, peut-être ! Mais le monde subatomique refusait encore de se soumettre. Les mathématiques ont été convoquées afin de formaliser les phénomènes contre-intuitifs qui ont cours en physique quantique.
Evariste Galois : Légendes et réalités sur un génie mathématique
POLE, 2023 (Bibliothèque Tangente ; 82)
Evariste Galois est à la fois l'un des mathématiciens les plus célèbres et l'un des plus mal connus. Ses travaux ont bouleversé l'approche des équations algébriques. C'est dans la marge de son dernier mémoire, écrit peu avant sa mort en duel à l'âge de 20 ans, qu'on trouve la célèbre formule "? Je n'ai pas le temps" . Ce qu'on appelle aujourd'hui "théorie de Galois ? " est l'aboutissement de recherches commencées seize ans après sa disparition, sur la base d'idées innovantes retrouvées dans ses papiers, qui ont contribué à des progrès spectaculaires des mathématiques.
Sa vie, quant à elle, comporte zones d'ombres et éléments romanesques qui ont suscité de nombreuses hypothèses et légendes. Galois fut un rebelle en désaccord avec l'institution : révolutionnaire, refusé à l'Ecole polytechnique, renvoyé de l'Ecole normale, incompris par l'Académie des sciences, emprisonné, provoqué en duel... Le dernier dossier de ce livre tente de reconstituer, avec les connaissances de l'époque, le cheminement de la pensée de Galois qui a abouti à son mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux.
Les dossiers - Une trop courte vie - Un jeune étudiant prometteur - La résolution des équations algébriques - Galois... par Galois
Les fonctions : Des nombres en correspondances
POLE, 2016 (Bibliothèque Tangente ; 56)
La notion de fonction, omniprésente dès les origines des sciences, se précise au XVIIe siècle pour les besoins de la physique. Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes. L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C'est l'occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s'appuyer : celui des fonctions, précisément !
Les fractales : Art, nature et modélisation
POLE, 2004 (Bibliothèque Tangente ; 18)
On connaissait le monde de Platon, d'Euclide et de Newton où la droite, le cercle, les courbes différentiables, les symétries et les lois fondamentales réductionnistes ordonnent l'univers. Voici désormais le monde de Poincaré, de Julia et de Mandelbrot où les courbes sans tangente, les attracteurs étranges et autres fractales sondent la complexité du chaos. Des côtes marines à la répartition des galaxies en passant par les choux Romanesco... les fractales sont partout. L'ordre simple et la régularité sont-ils donc l'exception? La complexité et la géométrie fractale sont-elles la règle dominante? Les solides de Platon doivent-ils battre en retraite devant l'ensemble de Mandelbrot?
Les graphes : Représenter les données et les stratégies
POLE, 2015 (Bibliothèque Tangente ; 54)
La théorie des graphes est née au 18e siècle d'un problème de parcours théorisé par le mathématicien suisse Leonhard Euler. Elle va trouver de nombreux développements dans l'aide à la décision : stratégie militaire, optimisation de chemins, stratégies de jeux, organisation de réseaux. Mais c'est avec l'avènement de l'informa- tique qu'elle va prendre une nouvelle dimension. Représentation des données, algorithmes de programmation...
Au-delà des applications classiques, c'est à ce renouveau de la théorie des graphes et à ses innombrables applications que cet ouvrage va s'attacher.
Les groupes : une structure précieuse
POLE, 2023, 160 p. (Bibliothèque Tangente ; 80)
De la résolution des équations au Rubik's Cube Née au début du XIXe siècle dans la tête du jeune mathématicien génial Évariste Galois dans le cadre de la résolubilité d'une équation polynomiale, la notion de groupe a littéralement envahi tous les domaines des mathématiques. Même si le groupe est un concept algébrique, plusieurs situations de la géométrie en bénéficient. Nombre de problèmes actuels des mathématiques consistent en la détermination d'un groupe, l'étude de ses propriétés ou la recherche d'une relation entre plusieurs d'entre eux.
Et cela dépasse même les mathématiques pour atteindre les autres sciences : la physique avec les particules fondamentales ou la mécanique quantique, la chimie avec l'étude des cristaux. D'autres champs de l'activité humaine, comme les sciences sociales, la littérature, les jeux (dont le Rubik's Cube) ou les arts peuvent aussi s'appuyer dessus.
Le célèbre mathématicien Alexandre Grothendieck considérait que les deux plus grandes inventions mathématiques de tous les temps étaient le zéro et...Le concept de groupe !
Henri Poincaré : À la croisée des sciences
POLE, 2022 (Bibliothèque Tangente ; 79)
Le premier savant universel Henri Poincaré a marqué son époque d'une empreinte scientifique forte qui a fait sa réputation de "savant universel" . Sa vision va au-delà des cloisonnements entre mathématiques, physique ou philosophie. En physique, il joue un rôle déterminant dans l'étude de la vitesse de la lumière, la théorie électromagnétique de Maxwell ou la mise en évidence du mouvement de la Terre.
Avec Lorentz, il met au point le formalisme de la relativité restreinte, qu'Einstein développera. Mais chacune de ses études s'appuie sur des mathématiques qu'il examine d'un regard novateur : géométrie, topologie, équations différentielles, systèmes dynamiques... Poincaré s'est aussi beaucoup impliqué dans son époque, mettant en évidence l'approche scientifique indispensable qui doit précéder les décisions, qu'elles soient économiques, politiques ou judiciaires.
Intelligence artificielle : L'alliance des mathématiques et de la technologie
POLE, 2019 (Bibliothèque Tangente ; 68)
L'essor foudroyant de l'intelligence artificielle est d'une ampleur sans précédent, de nature à transformer des pans entiers de notre monde : une révolution se prépare, tant du côté des applications que du côté théorique. Des voitures autonomes à la traduction automatique, des stratégies de jeux de société à la gestion de ressources, l'IA s'immisce partout dans nos vies. Les mathématiques contribuent de manière significative à cette révolution, avec notamment les réseaux de neurones artificiels, massivement utilisés dans de nombreuses applications.
Itération et récurrence : Des suites pour démontrer
POLE, 2021 (Bibliothèque Tangente ; 76)
On le sait depuis l'Antiquité : répéter mécaniquement un processus permet de trouver des solutions, exactes ou approchées, à de nombreux problèmes. Plus généralement, les suites jouent un rôle important dans les mathématiques. Le raisonnement par récurrence s'appuie sur elles pour démontrer des propriétés souvent fondamentales. Avec l'avènement de l'informatique, de nouvelles voies se sont ouvertes.
L'écriture de programmes récursifs, s'appelant eux-mêmes, va utiliser les processus itératifs pour résoudre de manière approchée des équations, donner des valeurs numériques à d'insaisissables constantes ou générer des fractales. Les artistes s'en sont d'ailleurs emparés pour produire des oeuvres, qu'elles soient graphiques, littéraires ou musicales, reposant... sur les mathématiques.
Leonhard Euler : Un génie des Lumières
POLE, 2007 (Bibliothèque Tangente ; 29)
2007, tricentenaire de la naissance de Leonhard Euler (1707-1783), est l'occasion d'évoquer le prolifique mathématicien des Lumières, celui dont on dit parfois qu'il " découvrit tout ce qui était découvrable à son époque ". Éclectique, Euler toucha à tous les domaines des mathématiques. Aujourd'hui, un cercle, une droite, des angles, des nombres, plusieurs formules et théorèmes, une indicatrice, une relation, des graphes, une équation...
portent son nom. Visionnaire, il étendit les notions mathématiques de son temps et anticipa celles des siècles futurs. Il contribua également à la mécanique, à l'hydraulique, à l'astronomie... et même à la théorie de la musique ! Rencontre avec un titan...
La magie des invariants : Dénicher la loi cachée
POLE, 2013 (Bibliothèque Tangente ; 47)
L'une des activités principales du scientifique explorant le monde est la recherche d'invariants. Les mathématiques n'échappent pas à cette quête systématique : il est toujours conseillé de s'intéresser à "ce qui ne change pas" dans un cadre fixé. En géométrie, par exemple, la recherche de points invariants permet de mieux comprendre une transformation donnée.
Le succès mondial et foudroyant du jeu de taquin à la fin du XIXe siècle illustre parfaitement tout le bénéfice que l'on peut retirer du plus simple des invariants : la parité.
Il en va de même avec le Rubik's Cube, où les invariants sont de nature plus algébrique, ou avec les codes correcteurs d'erreurs, indispensables pour sécuriser la transmission des données.
Aujourd'hui plus que jamais, les invariants sont au coeur des mathématiques et de leurs applications.
Mathématiques et architecture : À la recherche de l'harmonie
POLE, 2017 (Bibliothèque Tangente ; 60)
Les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture ne sont pas uniquement de nature géométrique. Si l'utilité des théorèmes de Thalès et de Pythagore vient immédiatement à l'esprit, de nombreux autres domaines sont concernés. Les nombres et les proportions (où l'on retrouve le fameux nombre d'or), l'algorithmique (dans le cadre de l'informatique) sont les principaux d'entre eux. Mais la réalisation d'outils de mesure précis, la résistance des matériaux, la gestion de l'acoustique et même l'arbitrage entre le fonctionnel et l'esthétique peuvent aussi faire appel aux mathématiques.
Sur le plan historique, toutes les périodes sont concernées, des bâtisseurs de l'Antiquité, qui nous ont laissé des oeuvres impérissables, aux artistes de la Renaissance qui ont imaginé la perspective. Aujourd'hui, aidés par de puissants logiciels, de nouveaux courants émergent, permettant de revisiter sous forme architecturale des concepts comme l'origami, les formes organiques, les jeux de construction ou même la géométrie fractale.
Bienvenue dans un monde en perpétuel renouvellement !
Mathématiques et biologie : L'organisation du vivant
POLE, 2011 (Bibliothèque Tangente ; 42)
Pourquoi la biologie a-t-elle aujourd'hui autant besoin des mathématiques ? Comment se manifestent ces interactions ? La " mathématisation du vivant " est-elle seulement possible ? Les liens déjà existants entre mathématiques et biologie ont permis de mieux appréhender le vivant à travers les probabilités, les statistiques, la modélisation, l'algorithmique, la géométrie. Les mathématiques permettent d'extraire les informations utiles parmi des masses de données, d'élaborer des modèles pertinents dans un monde d'une complexité infinie.
Mathématiques du développement durable : Une équation délicate
POLE, 2019 (Bibliothèque Tangente ; 67)
Le développement durable est un thème d'actualité autour duquel circulent de nombreuses informations. Parmi elles, il faut savoir distinguer les faits avérés, essentiellement liés à des observations passées, les projections vers l'avenir, qui s'appuient sur des modèles mathématiques, mais ne convergent pas toujours, et les affirmations erronées qui sont une constante quand un dogme est en jeu. Cet ouvrage s'efforce de dresser un panorama objectif des outils mathématiques utilisés dans la modélisation du climat, dans l'analyse des sources d'énergie ou dans les prévisions d'évolution des populations.
Il étudie les solutions proposées, qui ne sont pas si simples, voire parfois même déroutantes. En effet, de multiples paradoxes émergent lorsque l'on creuse certains sujets, comme celui des transports. Car toutes les questions posées par le développement durable sont interconnectées et une solution à l'un des problèmes peut avoir des répercussions pas forcément très heureuses sur d'autres domaines.
Mathématiques discrètes & combinatoire : L'art de dénombrer
POLE, 2010 (Bibliothèque Tangente ; 39)
En Grèce à l'époque d'Euclide, en Chine il y a 2000 ans ou aujourd'hui à l'ère de l'informatique, les algorithmes ont vocation à expliquer, étape par étape, comment fonctionne un raisonnement. Certaines caractéristiques émergent naturellement : boucles, conditions d'arrêt, itérations, convergence, récursivité... Les algorithmes font officiellement leur entrée dans les programmes scolaires de 2009. Le présent ouvrage couvre leurs aspects historiques, techniques et mathématiques, mais également les besoins spécifiques des enseignants (et de leurs élèves). Pour autant, le grand public n'est pas oublié : de nombreuses questions fascinantes, en arithmétique par exemple, sont issues d'algorithmes très simples.
Mathématiques et économie : Une vision scientifique de l'économie
POLE, 2018 (Bibliothèque Tangente ; 62)
L'économie n'a pas toujours fréquenté les mathématiques, jusqu'à l'arrivée de penseurs qui, au XIXe siècle, y ont fait entrer la rationalité scientifique. L'économie peut dès lors être considérée comme une science. Quel rôle les modèles mathématiques jouent-ils dans son analyse et son développement ? Peuvent-ils contrebalancer les décisions reposant sur une approche dogmatique, et donc influencer le politique ? C'est ce que développe cet ouvrage, en s'intéressant successivement aux deux principaux versants de l'économie : la macroéconomie, qui étudie la production et l'échange de biens de consommation, avec ses notions essentielles comme la monnaie, l'inflation, le PIB ou les indicateurs ; la microéconomie, qui concerne les interactions marchandes à l'échelle des individus.
Derrière leur modélisation, les principaux domaines des mathématiques interfèrent quotidiennement avec les systèmes de décision et de gestion. Parmi eux, les statistiques, les probabilités et les outils de l'analyse stochastique sont de plus en plus sollicités.
Mathématiques : de l'esthétique à l'éthique : Une dimension insoupçonnée
POLE, 2014 (Bibliothèque Tangente ; 51)
Quelle est l'origine de ce plaisir esthétique qui traverse chaque usager des mathématiques ? Pourquoi n'est-il pas accessible au profane ? À partir de ce questionnement, les composantes intimes des mathématiques, familières aux spécialistes, se dévoilent aux yeux de tous. Et le ressort de chacune des démonstrations choisies par les auteurs illustre de façon saisissante ce qu'on peut entendre par "beauté".
Les mathématiques, sans qu'on les perçoive forcément, peuvent également se mettre au service de nombreuses techniques artistiques pour créer la beauté. C'est le deuxième thème de l'ouvrage, illustré par des exemples dans de nombreux domaines, de la musique aux arts plastiques ou à la littérature. Enfin, les auteurs se sont posé une question qui, en apparence, n'a de commun avec l'esthétique que la sonorité du mot : peut-on définir une éthique des mathématiques ?
Mathématiques et géographie : La Terre vue des maths
POLE, 2011 (Bibliothèque Tangente ; 40)
Mesurer la Terre, arpenter un champ, évaluer une surface ou un volume, observer la planète depuis l'espace : depuis toujours, l'homme cherche à maîtriser son environnement avec les outils à sa disposition. Le premier dont il dispose est la géométrie. C'est le règne des transformations. Les mathématiques sont tout aussi indispensables en géographie humaine. Les statistiques, les systèmes dynamiques, les lois de probabilité ou les équations différentielles aident à comprendre la démographie ou calculer les espérances de vie.
Mais les mathématiques ont d'autres ressources : la trigonométrie, les ondelettes ou les groupes aident à se repérer, à expliquer les marées, à calculer la longueur des rivières...
Mathématiques et imagerie : De la technologie à l'art
POLE, 2022 (Bibliothèque Tangente ; 77)
Nous vivons depuis toujours dans un monde d'images, réelles ou imaginées, qui alimentent notre vécu. Mais jamais les images virtuelles n'ont été aussi présentes dans notre environnement. Elles circulent sur la Toile, elles envahissent notre quotidien, du jeu vidéo à l'imagerie médicale. Cette révolution de l'image numérique a été permise grâce aux avancées technologiques, qui donnent la possibilité de manipuler les contenus numérisés en s'appuyant sur de puissants algorithmes derrière lesquels se trouvent essentiellement...
des mathématiques : les transformations chères à l'analyse (Fourier, Laplace, Radon...), les structures algébriques (matrices et quaternions), la géométrie, le codage de l'information. De nouveaux horizons se sont ouverts, conduisant aux hologrammes, à la réalité augmentée, à la biométrie, à l'impression 3D. L'imagerie mathématique a même bouleversé l'art en créant de nouveaux courants d'"art numérique" !
Les mathématiques de l'impossible : La quadrature du cercle !
POLE, 2014 (Bibliothèque Tangente ; 49)
De tous temps, des esprits inspirés, créatifs, originaux, ont bousculé les idées reçues et pensé des objets "qui ne devraient pas exister". Ces inventeurs, qui ont parfois raison contre la pensée dominante, sont à la base des grandes découvertes. Les mathématiques ne font pas exception : leur histoire est semée de paradoxes, de preuves d'impossibilité, d'hypothèses et de conjectures.
Tout commence avec les problèmes déliaques : quadrature du cercle, trisection de l'angle, duplication du cube, construction de polygones réguliers à la règle et au compas... La question de l'impossibilité se posera ensuite pour les nombres imaginaires, pour la résolubilité par radicaux des équations polynomiales, en théorie des ensembles, pour la notion d'infini. Des conjectures célèbres ont été résolues... ou infirmées.
D'autres sont encore à prouver, des défis qui peuvent rapporter jusqu'à un million de dollars. En mathématiques, quand c'est impossible, on trouve souvent des pépites !
Mathématiques et informatique : Une nouvelle ère numérique
POLE, 2014 (Bibliothèque Tangente ; 52)
L'informatique est avant tout un système de représentation de l'information. Les bouleversements induits par son développement foudroyant sont tels que de nouveaux domaines de la connaissance ont vu le jour. L'algèbre booléenne et l'algorithmique sont les outils qui permettent de numériser (« mettre sous forme de nombres »), représenter et manipuler l'information. La logique formelle comme la sémantique cherchent à préciser ce qui peut être formalisé et expliqué à un ordinateur.
La théorie du signal permet de faire circuler des données d'un ordinateur à l'autre. La cryptologie vise à étudier la sécurité des données qui transitent. Les codes correcteurs d'erreurs ont pour mission de détecter et de corriger toute erreur sur les données. Les ondelettes autorisent la compression des sons et des images (avec les fameux formats MP3, MP4, JPG ou DIVX). Les graphes permettent d'étudier la distribution et la connectivité d'un réseau d'ordinateurs.
L'analyse de données permet de gérer le déluge d'informations qui submergent les serveurs. Sans les mathématiques, aucun de ces progrès ne serait possible !
Mathématiques et jeux de société : A la recherche des stratégies gagnantes
POLE, 2023 (Bibliothèque Tangente ; 83)
Présentation Le jeu est l'une des activités humaines les plus pratiquées, par les enfants comme les adultes. Quand il est partagé avec d'autres, on parle de jeu de société. Depuis des siècles, il en existe des milliers, et de nouveaux voient le jour régulièrement, souvent liés à la culture des différents pays. Une fois la règle définie, chacun essaie de faire au mieux pour gagner. C'est là que la mathématique joue (c'est le cas de le dire ! ) un rôle fondamental, en faisant appel, selon le type de jeu, à plusieurs de ses branches. Dans les jeux à deux où les positions des deux adversaires sont connues, comme les dames, les échecs, le go, mais aussi d'autres jeux plus simples, la théorie des graphes permet, en théorie, d'étudier toutes les situations (en pratique, elles sont souvent trop nombreuses). Quand l'information est incomplète, parce qu'on ne connaît pas le jeu des adversaires ou parce qu'il faut tirer des cartes ou lancer des dés, les probabilités sont à l'uvre. Mais cela ne s'arrête pas là ! La géométrie, la combinatoire, l'arithmétique peuvent être convoquées. Les dossiers : Les jeux à information complète / Information incomplète : le rôle des probabilités / Quand géométrie et combinatoire s'en mêlent / Des jeux dans toutes les cultures
Mathématiques et littérature : Une fascination réciproque
POLE, 2007 (Bibliothèque Tangente ; 28)
Mathématiques et littérature... deux mondes que l'on voudrait opposer et qui pourtant s'observent, dialoguent, s'inspirent mutuellement. D'Edgar Poe à Umberto Eco, de Lautréamont à Wislawa Szymborska, romanciers et poètes disent leur fascination pour les mathématiques, en émaillent leurs uvres, chantent leur beauté dans leurs vers. Avec Pascal, Lewis Carroll, Sophie K, Claude Berge, Douglas Hofstadter, ...
on découvre que l'on peut être à la fois bon mathématicien et belle plume. Et si l'arithmétique et la symétrie sculptent depuis toujours la poésie, oulipiens et autres tenants de l'écriture à contraintes ont plus récemment apporté la preuve que les mathématiques offrent de formidables outils de création littéraire.
Mathématiques et médecine : : Les maths au service de notre santé
POLE, 2017 (Bibliothèque Tangente)
On connaissait l'usage des probabilités pour dépister certaines maladies ou pour tester l'effet de vaccins ou de médicaments, en intégrant en particulier ce qu'on appelle l'effet placebo. On a progressé ces dernières décennies dans la connaissance de la propagation des épidémies, ce qui a considérablement affiné la lutte contre elles et donné plus de sens à la façon d'utiliser la vaccination. Mais les progrès récents de la médecine dans leurs différentes directions (étude de l'ADN, imagerie, objets connectés, lutte contre le cancer) utilisent encore plus de mathématiques : statistiques, bien sûr, mais aussi géométrie, analyse de Fourier, équations différentielles, systèmes dynamiques, théorie des ondelettes...
Mathématiques et philosophie : En quête de vérités
POLE, 2010 (Bibliothèque Tangente ; 38)
Il est possible d'aborder les grands sujets philosophiques liés aux mathématiques en restant à la portée de tous et en évitant les mots barbares qui font fuir le commun des mortels ! Et ce, sans concessions ni censure. Les grandes notions, voire les grandes querelles, sont toutes présentes, ou presque : l'infini, la logique, le débat sur la vision platonicienne des mathématiques, le rôle du hasard, l'existence de Dieu, la révolution des théorèmes de Gôdel, les paradoxes, l'esthétique, l'intuition... Merci à tous ceux - mathématiciens, philosophes, ou les deux à la fois - que cet ouvrage à réunis : Aristote, Platon, Pascal, Descartes, Leibniz, Poincaré, Wittgenstein (et bien d'autres !), pour le plus grand bonheur de nos lecteurs, qui trouveront là une source inépuisable de matière pour réfléchir sur le monde.
Maths & arts plastiques : Géométrie de la création
POLE, 2005 (Bibliothèque Tangente ; 23)
Créativité, beauté, universalité, génie... Que l'on qualifie les mathématiques ou l'art, les mêmes mots reviennent. Signe d'un lien secret unissant des domaines que tout semble opposer ? On imagine mal ce qu'il serait advenu de la peinture sans la perspective. La symétrie, l'anamorphose, les constructions aléatoires témoignent que les mathématiques offrent un formidable réservoir de techniques que les artistes peuvent exploiter ou détourner, consacrer ou transgresser. Mais la reine des sciences fascine aussi pour elle-même. De Léonard de Vinci à Holbein, de Kandinsky à Morellet en passant par Escher ou Vasarely, de nombreux artistes rendent un hommage grandiose aux mathématiques.
Maths et emploi : Un monde professionnel très demandeur
POLE, 2021 (Bibliothèque Tangente ; 73)
Les formations mathématiques font partie des plus demandées par le monde professionnel. On le savait pour la finance, l'économie ou l'informatique, mais la compétence mathématique est au coeur de la demande de nombreux autres secteurs industriels. De nouveaux concepts théoriques se créent pour répondre à ces besoins, mobilisés par des domaines variés, comme l'aéronautique, la 5G ou le traitement d'image où les mathématiques permettent de gérer la compression, la transmission, le débruitage et la restauration de fichiers numériques. On assiste ainsi au développement de la géométrie de l'information, née de la volonté de géométriser les espaces de distributions de probabilité, ou du calcul à haute performance, reposant sur l'utilisation de multiples unités de calculs très intensifs. Plus généralement, les entreprises, plongées dans un environnement qui évolue régulièrement, sollicitent de plus en plus les mathématiques et recrutent des ingénieurs comme des diplômés de l'université.
Maths et sports : Le sport en équations
POLE, 2004 (Bibliothèque Tangente ; 19)
On a coutume de trouver des mathématiques là où on s'y attend le moins, certes. Mais que viendraient-elles faire, elles qui sont la gloire de l'esprit, dans le sport, gloire du corps ? Pourtant, en faisant naître les Jeux olympiques et les mathématiques européennes dans un même berceau : Athènes, l'Histoire leur prédisait des cheminements parallèles. Puisqu'il fallait évaluer, prévoir, améliorer les performances, le sport devint vite mesure et optimisation.
Aujourd'hui, chacun admettra qu'un service gagnant au tennis, un essai transformé au rugby, un tir brossé au football ou une prouesse au golf... cela ne s'improvise pas, cela se calcule !
Les matrices : Une représentation du monde
POLE, 2012 (Bibliothèque Tangente ; 44)
Les matrices sont, à la base, de simples tableaux de nombres. Il y a moins de deux siècles, on a défini des opérations pour manipuler ces tableaux, ce qui a bouleversé l'approche de plusieurs objets ou notions mathématiques. Les transformations géométriques, notamment, s'étudient plus aisément avec les outils matriciels. Plus généralement, tout ce qui est de dimension finie dans le monde qui nous entoure, et tout ce qui peut être modélisé, tombe sous leur influence.
Cette caractéristique a trouvé sa pleine expression avec l'avènement de l'informatique. L'économie, l'actuariat et la finance en sont friandes. L'électronique et toutes les sciences de l'ingénieur ne peuvent plus s'en passer. Même le grand public est directement concerné : derrière chaque Sudoku, chaque grille logique, chaque carré magique se cache une matrice, souvent utile dans sa résolution.
Maximum Minimum Optimum : L'art de faire au mieux
POLE, 2020 (Bibliothèque Tangente ; 72)
La construction progressive de l'analyse, en particulier la dérivation, a joué un rôle essentiel dans le développement de la théorie des extrema. Mais, parallèlement au calculus, d'autres voies se sont ouvertes pour offrir de nouveaux paradigmes et étendre le champ des résultats théoriques et celui des applications. Dans un contexte plus géométrique, par un processus de type essai/erreur, la nature a progressivement développé des solutions optimales.
Mais des mathématiciens s'y sont également employés, utilisant entre autres les outils du calcul différentiel, au point que ces derniers ont parfois fini par rendre presque méconnaissables les aspects géométriques des problèmes traités. Les techniques de la combinatoire sont également sollicitées. La recherche de solutions explicites passe souvent parla construction d'algorithmes. Lorsque ce n'est pas possible, le recours à des méthodes heuristiques approchant les résultats est parfois nécessaire.
Les applications des méthodes d'optimisation sont nombreuses, de la notion de plus court chemin à des domaines comme l'économie ou même la psychologie.
Les nombres complexes : Quand l'algèbre, analyse et géométrie se rejoignent
POLE, 2018 (Bibliothèque Tangente ; 63)
Les nombres imaginaires, dont le carré est un nombre négatif, ont mis des siècles à être acceptés. Ils ont donné naissance aux nombres complexes, créés à l'origine pour résoudre des équations algébriques. Cette découverte allait bouleverser les mathématiques. Algèbre, analyse, géométrie, trigonométrie disposaient désormais d'un outil puissant qui allait permettre des découvertes fondamentales et de nouvelles formes de démonstrations.
Au-delà des mathématiques, les complexes ont des applications dans de nombreux domaines, scientifiques, bien sûr, mais aussi plus inattendus. La technologie et même l'art leur doivent beaucoup. Du lycéen au scientifique professionnel, du technicien à l'artiste, personne ne peut se passer des nombres complexes.
Les nombres : Secrets d'hier et d'aujourd'hui
POLE, 2008 (Bibliothèque Tangente ; 33)
L'approche historique, avec la construction des entiers et l'avènement des systèmes de numération pour les représenter, constitue la première étape de la saga des nombres. Au-delà des entiers, les lecteurs découvriront les rationnels, les réels, puis les imaginaires, qui ont tellement mis de temps à s'imposer dans l'esprit des mathématiciens. Ils furent des milliers de visionnaires, professionnels ou amateurs, à avoir brûlé des jours et des nuits pour découvrir d'insoupçonnées propriétés.
Vous vibrerez avec certains d'entre eux. Pour terminer, l'ouvrage vous livrera de vrais secrets : depuis certaines curiosités amusantes jusqu'aux applications les plus confidentielles de la théorie des nombres
La recherche opérationnelle : Des mathématiques pour décider et organiser
POLE, 2021 (Bibliothèque Tangente ; 75)
Apparue lors de la seconde guerre mondiale dans un contexte militaire qui lui a donné son nom, la RO (recherche opérationnelle), à la croisée des mathématiques, de l'informatique et de l'économie, s'est étendue à tous les domaines de la société. Entreprises, collectivités territoriales, administrations, établissements scolaires, hôpitaux et même individus doivent chaque jour résoudre des problèmes d'organisation.
Les outils de modélisation mathématique permettent de décrire un contexte avant de mettre en oeuvre des méthodes de résolution dédiées. Ainsi, la théorie des graphes aidera à mieux organiser des tournées, et donc réaliser des économies substantielles de temps et de carburant. L'algorithmique servira à améliorer une chaîne de production. L'optimisation s'invitera pour la fabrication ou la commande de fournitures.
Les mathématiques de la décision seront, quant à elles, utiles lors d'un choix collectif. Les dossiers : Au confluent de l'algorithmique et de la modélisation ; De grands problèmes résolus ; Les défis sociétaux ; Aide à la décision.
Les secrets des dimensions : Plan, espace, 4D - passeport pour un nouvel univers
POLE, 2019 (Bibliothèque Tangente ; 66)
L'intuition visuelle qui règne dans la géométrie plane est souvent prise en défaut lorsque l'on passe à la 3D. Se représenter les volumes n'est pas évident, alors que les cercles, triangles et autres polygones ne posent pas de difficultés. La question se pose depuis toujours aux concepteurs, artisans, architectes, ingénieurs, bâtisseurs, astronomes, artistes... Chaque corps de métier a développé un mode de représentation des objets qu'il doit manipuler.
Du " patron " à la géométrie descriptive, de la projection stéréographique à la perspective, de nombreuses techniques ont été imaginées. Ces dialogues entre le plan et l'espace ont débouché sur la quatrième dimension... et plus encore ! D'autres branches des mathématiques sont alors conviées pour révéler les secrets des dimensions.
Les Statistiques et leur décodage
POLE, 2009 (Bibliothèque Tangente ; 34)
Les statistiques sont omniprésentes dans notre vie quotidienne : résultats sportifs, recensements, quotas, loi des séries, sondages, élections... Elles font usage d'un grand nombre de données, qu'il faut recueillir, classer, traiter, interpréter. Avec elles, les mathématiques réalisent un va-et-vient continu entre la théorie et la confrontation avec la réalité. Sujettes à polémique depuis leurs premières utilisations, les statistiques continuent néanmoins à être invoquées, telles des oracles, pour expliquer ou prédire les phénomènes. En clair, elles fascinent toujours, malgré les erreurs dues aux inévitables incertitudes ou à leur mauvaise utilisation. Elles restent au centre de nombreuses recherches qui devraient permettre de les utiliser à meilleur escient.
Suites & séries : Les nombres, avec ou sans limite
POLE, 2011 (Bibliothèque Tangente ; 41)
La recherche de la loi qui préside à la constitution d'une suite et donne lieu aux fameux tests de logique n'est qu'un minuscule aspect de la richesse que revêt l'étude des suites. Suites de nombres, suites de fonctions, convergence, divergence, limite... Le sujet est vaste et occupe depuis des siècles de nombreux savants, de Riemann à Cauchy. Les amateurs ne sont d'ailleurs pas en reste : on leur doit une multitude de suites, qui figurent aujourd'hui sur le site de référence de Neil Sloane.
Mais les suites numériques conduisent, à partir du souci naturel de vouloir les sommer, à une théorie d'une grande richesse : celle des séries.
Les surfaces : Le rendez-vous des géométries
POLE, 2020 (Bibliothèque Tangente ; 70)
L'étude des surfaces combine les apports de la géométrie, de l'algèbre, de l'analyse et de la topologie. Cet ouvrage de vulgarisation expose leurs caractéristiques et leurs applications, du ruban de Möbius aux bulles de savon en passant par les fractales et l'infographie.
Le temps : Voyage dans la 4e dimension
POLE, 2006 (Bibliothèque Tangente ; 27)
Le temps... jamais concept ne fut à la fois aussi familier, aussi quotidien et aussi difficilement accessible. Il se lit sur notre visage, mais le mesurer avec précision met au défi l'inventivité humaine, depuis les cadrans solaires jusqu'aux fontaines atomiques, à la pointe de la recherche actuelle. Que l'on cherche à le dompter, à prévoir l'évolution de lois ou de systèmes, et c'est le chaos qui se dessine ! On a longtemps cru au temps absolu, 4e dimension indépendante, mais au fil des révolutions scientifiques, de la relativité de Galilée à celle d'Einstein, en passant par l'électromagnétisme, cette perception fut révisée pour donner naissance à l'espace-temps.
Et même la course implacable du temps, en ligne droite du passé vers l'avenir, pourrait bien n'être qu'illusion!
Théorie des jeux : Stratégies et tactiques
POLE, 2013 (Bibliothèque Tangente ; 46)
Qu'ont en commun un problème de grains de riz sur un échiquier, la recherche d'une stratégie gagnante dans un jeu de société, la notion d'équilibre en économie, les comportements sociaux, l'art de la guerre et l'établissement d'un juste prix lors d'une vente aux enchères ? Tous relèvent d'une même branche des mathématiques : la théorie des jeux. Les jeux à information complète, tels que les échecs ou le go, utilisent les mathématiques discrètes et la logique.
Ceux à information incomplète, comme le poker, mobilisent en outre des notions probabilistes pour tenter d'apprivoiser une part de hasard. Et aujourd'hui, l'outil informatique est venu "modifier la donne", en offrant des capacités de calcul qui permettent de rivaliser avec les plus grands champions ou de rassembler d'immenses communautés de joueurs.
Les transformations : De la géométrie à l'art
POLE, 2009 (Bibliothèque Tangente ; 35)
Les transformations géométriques sont des processus qui nous permettent de représenter le réel. Elles modifient les objets sensibles, de façon à en faire ressortir certaines caractéristiques. Notre appareil sensoriel utilise en permanence des transformations, sans que nous en soyons forcément conscients. Historiquement, ce sont les artistes et les savants, dans leur quête de représentation et de compréhension du monde, qui les premiers les ont isolées et en ont fait des objets d'étude à part entière.
De la similitude à l'inversion en passant par l'homographie, cet ouvrage vous propose d'explorer la nature mathématique de ces processus auxquels nous sommes en permanence confrontés.
Le triangle - : Trois points, c'est tout !
POLE, 2006 (Bibliothèque Tangente ; 24)
Trois points, trois côtés, trois angles... le triangle est le plus simple des polygones. Pourtant, êtes-vous sûr de bien le connaître ? Partez à la redécouverte de cette figure étudiée depuis l'Antiquité et qui fascine encore aujourd'hui. Thalès, Pythagore, Carnot... revisitez ses théorèmes célèbres ! Point de Fermat, droite de Simson, cercle d'Euler... voyagez parmi ses éléments remarquables. C'est un objet plein d'astuce qui se dessinera sous vos yeux le triangle permet de se repérer, de calculer des distances, de visualiser la 3e dimension ou de représenter les nombres entiers.
Le triangle est aussi la source d'innombrables problèmes, puzzles, amusettes et autres énigmes.
Vecteurs, espaces vectoriels : Une nouvelle approche de la géométrie
POLE, 2019 (Bibliothèque Tangente ; 65)
Le concept de vecteur, puis d'espace vectoriel, s'affine progressivement tout au long du XIXème siècle dans le but de formaliser l'espace qui nous entoure. Des éléments fondamentaux sont introduits : base, dimension, déterminant, application linéaire...
La géométrie, et c'est une révolution, peut être traitée comme une branche de l'algèbre. Cette nouvelle approche apporte des solutions miraculeuses à certains problèmes réputés difficiles. L'espace vectoriel a ensuite conquis peu à peu les grands continents mathématiques que sont l'algèbre et l'analyse, puis l'ensemble des sciences.
Qui, mieux qu'un vecteur, peut encoder la direction, le sens, la force d'un mouvement ? Que ce soit pour retoucher une image numérique, évaluer l'orbite d'un corps céleste ou réaliser le calcul approché d'une intégrale, on ne peut plus s'en passer !
De nombreuses applications sont mises en évidence, dans des domaines variés : le dessin vectoriel, le traitement de données de masse, et même des techniques de composition musicale, illustrées par Iannis Xenakis.